Question

17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）的影响，对近六年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年宣传费x（万元）	38	48	58	68	78	88
年销售量y（吨）	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5

经电脑模拟发现年宣传费x（单位：万元）与年销售量y（单位：吨）之间近似满足关系式：y=a•x^b（a，b＞G），即lny=b•lnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：

$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi•lnyi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnyi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）2
75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对y=a•b^x，（a＞0，b＞0）两边取对数，得lny=b•lnx+lna，令μ_i=lnx_i，v_i=lny_i，得v=b•μ+lna，利用最小二乘法求出得a=e，由此能求出y关于x的回归方程．
（Ⅱ）由题意得到ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）对y=a•b^x，（a＞0，b＞0）两边取对数，得lny=b•lnx+lna，
令μ_i=lnx_i，v_i=lny_i，得v=b•μ+lna，
由题所给的数据得：
$\overline{μ}=\frac{24.6}{6}=4.1$，$\overline{v}$=$\frac{18.3}{6}$=3.05，
$\sum_{i=1}^{6}（{μ}_{i}•{v}_{i}）=\sum_{i=1}^{6}（ln{x}_{i}•ln{y}_{i}）$=75.3，
$\sum_{i=1}^{6}（ln{x}_{i}）^{2}=101.4$，
∴$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{μ}•\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}{{μ}_{i}}^{2}-n（\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{α}=\overline{v}-\widehat{β}•\overline{μ}$，
$lna=\overline{v}-b•\overline{μ}$=3.05-$\frac{1}{2}×4.1$=1，得a=e，
∴y关于x的回归方程为$y=e•\sqrt{x}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求回归方程，得$\frac{y}{x}=\frac{e}{\sqrt{x}}∈（\frac{e}{9}，\frac{e}{7}）$，则x∈（49，81），
∴x=58，68，78，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，是中档题．