Question

9．若函数f（x）=x+$\frac{m}{x-1}$（m为大于0的常数）在（1，+∞）上的最小值为3，则实数m的值为1．

Answer 1

分析 由x-1＞0，f（x）=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$+1，运用基本不等式可得最小值，解方程可得p的值．

解答 解：由x＞1可得x-1＞0，即有f（x）=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$+1
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{m}{x-1}}$+1=2$\sqrt{m}$+1，
当且仅当x-1=$\frac{m}{x-1}$，即x=1+$\sqrt{m}$处取得最小值，且为1+2$\sqrt{m}$，
由题意可得1+2$\sqrt{m}$=3，解得m=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题．