Question

19．（1）求不等式|x-5|-|2x+3|≥1的解集；
（2）若正实数a，b满足$a+b=\frac{1}{2}$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}≤1$．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的意义，通过x的讨论 去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．
（2）利用分析法的证明方法，推出不等式成立的充分条件即可．

解答 解：（1）当$x≤-\frac{3}{2}$时，-x+5+2x+3≥1，解得x≤-7，∴$-7≤x≤-\frac{3}{2}$；
当$-\frac{3}{2}＜x＜5$时，-x+5-2x-3≥1，解得$x≤\frac{1}{3}$，∴$-\frac{3}{2}＜x≤\frac{1}{3}$；
当x≥5时，x-5-（2x+3）≥1，解得x≤-9，舍去．
综上，$-7≤x≤\frac{1}{3}$．故原不等式的解集为$\{x|-7≤x≤\frac{1}{3}\}$．
（2）证明：要证$\sqrt{a}+\sqrt{b}≤1$，只需证$a+b+2\sqrt{ab}≤1$，即证$2\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}$，即证$\sqrt{ab}≤\frac{1}{4}$，
而$a+b=\frac{1}{2}≥2\sqrt{ab}$，所以$\sqrt{ab}≤\frac{1}{4}$成立，所以原不等式成立．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查计算能力．