Question

4．若x＞0，y＞0，x+y=1，则$\frac{x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 通过换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：x＞0，y＞0，x+y=1，则y=1-x．
∴$\frac{x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$=$\frac{{x}^{2}-4+4}{x+2}$+$\frac{（1-x）^{2}}{2-x}$=x-2+$\frac{4}{x+2}$+$\frac{（2-x）^{2}+2x-4+1}{2-x}$
=x-2+$\frac{4}{x+2}$+2-x-2+$\frac{1}{2-x}$=$\frac{4}{x+2}$-2+$\frac{1}{2-x}$=f（x），
f′（x）=$\frac{-4}{（x+2）^{2}}$+$\frac{1}{（2-x）^{2}}$=$\frac{（x+2）^{2}-4（x-2）^{2}}{（4-{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{-3（x-\frac{2}{3}）（x-6）}{（4-{x}^{2}）^{2}}$，0＜x＜1．
可知：当x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得最小值为：$\frac{4}{\frac{2}{3}+2}$-2+$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了换元方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．