Question

9．已知f（x）=lnx-x³+2ex²-ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．
（1）若f（x）在x=e处的切线的斜率为e²，求a；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（e），求出a的值即可；
（2）求出$\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex=a$，记$F（x）=\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex$，根据函数的单调性求出F（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-3{x^2}+4ex-a$，
$f'（e）=\frac{1}{e}+{e^2}-a={e^2}$，∴$a=\frac{1}{e}$．
（2）由lnx-x³+2ex²-ax=0，
得$\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex=a$，
记$F（x）=\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex$，
则$F'（x）=\frac{1-lnx}{x}-2（x-e）$，x∈（e，+∞），
F'（x）＜0，F（x）递减；
x∈（0，e）时，F'（x）＞0，F（x）递增．
∴$F{（x）_{max}}=F（e）=\frac{1}{e}+{e^2}$．
而x→0时F（x）→-∞，
x→+∞时F（x）→-∞，
故$a＜\frac{1}{e}+{e^2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．