Question

1．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x、y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为S_n，且f（a_n）=f（S_n+2）-f（4）（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由f（a_n）=f（S_n+2）-f（4），即为（a_n）=f（S_n+2）-f（4），由条件可得f（S_n+2）=f（4a_n），由单调性可得S_n+2=4a．，求得首项，将n换为n-1，相减，运用等差数列的通项公式．

解答 解：∵对任意的正数x、y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
且f（a_n）=f（S_n+2）-f（4）（n∈N^*），
∴f（S_n+2）=f（a_n）+f（4）=f（4•a_n），
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴S_n+2=4a_n…①．
当n=1时，S₁+2=a₁+2=4a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
当n≥2时，S_n-1+2=4a_n-1…②．
①-②得：a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{4}{3}$．
∴数列{a_n}是一个以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{2}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．
故答案为：$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查函数的单调性的运用，抽象函数的运用，考查数列的通项的求法，注意运用通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，属于中档题．