Question

8．已知函数f（x）=x²+m与函数g（x）=-ln$\frac{1}{x}-3x（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{5}{4}+ln2，2}）$
• B． $[{2-ln2，\frac{5}{4}+ln2}）$
• C． $（{\frac{5}{4}+ln2，2-ln2}]$
• D． （2-ln2，2]

Answer 1

分析 由已知得到方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有两解，构造函数h（x）=-lnx+3x-x²，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．

解答 解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有两解，即m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解．
设h（x）=-lnx+3x-x²，则h′（x）=-$\frac{1}{x}$+3-2x=-$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=1．
∴当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴h（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
∴当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=2，
∵h（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$，h（2）=-ln2+2，且h（2）＜h（$\frac{1}{2}$），
$\frac{5}{4}$+ln2≤m＜2．
从而m的取值范围为[$\frac{5}{4}$+ln2，2）．
故选：A．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在上有两解，属于中档题．