Question

【题目】已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设M，N分别为椭圆C的左、右顶点，过点且不与x轴重合的直线与椭圆C相交于A，B两点是否存在实数t（），使得直线：与直线的交点P满足P，A，M三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，直线：

【解析】

（1）利用椭圆的几何性质建立方程组求解即可；

（2）假设存在满足题意的直线，先设出的方程，设出，、，，联立方程组得出根与系数关系，然后求出点坐标，利用三点共线建立方程，将根与系数关系代入整理、化简、求解即可．

解：（1）由于短轴长为，所以，.

又离心率，且，解得.

所以椭圆C的标准方程为.

（2）假设存在直线满足条件，设的方程为，且，.

联立方程组，消去x可得，

，

，.

由于，，所以直线的方程为，

则：（）与直线的交点P的坐标为，且，.

当，，三点共线时有与共线.

所以，即.

由于，所以，

所以，解得，所以存在直线：满足条件.