Question

【题目】已知双曲线：的离心率，其左焦点到此双曲线渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求圆的圆心到抛物线的准线的距离.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由题意可得，解出即可；

（2）由题意设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程并消元，设，，可得韦达定理的结论，又以为直径的圆过原点得，代入可求得，根据中点坐标公式求得圆的圆心的纵坐标，从而可求出答案．

解：（1）由题意可得，

解得，

∴双曲线的方程为；

（2）易知直线与轴不重合，设直线的方程为，

联立方程，可得，

上述方程式的判别式，以及（否则直线不能与双曲线交两点），

设，，则，，

同时可得，

以为直径的圆过原点，知，

结合，可知，，

∴圆的圆心即中点的纵坐标为，

∵抛物线的准线方程为，

∴圆的圆心到抛物线的准线距离为或．