Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点.当直线AB过原点时，PF1＝3PF2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为，，，.

①若，求直线PQ的斜率；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②

【解析】

（1）已知条件有，直线AB过原点时，PQx轴，所以△PF1F2为直角三角形，利用椭圆定义和勾股定理可求得，得椭圆方程；

（2）①设直线PQ：，代入到椭圆方程得后化简，设P(，)，Q(，)，应用韦达定理得，，计算并代入可得；

②分类讨论，当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，

当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知，同理可得，计算后应用基本不等式可得最小值．

解：（1）因为椭圆C：(a＞b＞0)的短轴长为2，所以b＝1，

当直线AB过原点时，PQx轴，所以△PF1F2为直角三角形，

由定义知PF1＋PF2＝2a，而PF1＝3PF2，故，，

由得，化简得a2＝2，

故椭圆的方程为.

（2）①设直线PQ：，代入到椭圆方程得：，设P(，)，Q(，)，则，，

所以

所以，

解得：或，即为直线PQ的斜率.

②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，

当两条直线与坐标轴都不垂直时，

由①知，同理可得

故

，

当且仅当即k＝1时取等号.

综上，的最小值为.