Question

已知双曲线上

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k₁，k₂，当

2

k1k2

+ln（k₁k₂）最小时，双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由双曲线的对称性得B（-x₁，-y₁），从而得到k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．

解答： 解：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，
∵点A，C都在双曲线上，
∴

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
两式相减，可得：k₁k₂=

b2

a2

＞0，
对于函数y=

2

x

+lnx（x＞0），
由y′=-

2

x2

+

1

x

=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，
∴当x=2时，函数y=

2

x

+lnx（x＞0）取得最小值，
∴当

2

k1k2

+ln（k₁k₂）最小时，k₁k₂=

a2

b2

=2，
∴e=

1+ b2 a2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．