Question

给出下列四个命题
①z₁，z₂∈C，z₁+z₂为实数的充要条件是；z₁，z₂互为共轭复数
②将5封信投入3个邮筒，不同的投法有5³种投递方法；
③函数f（x）=e^-x•x²在x=2处取得极大值；
④对于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

都是偶数．
其中真命题的序号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：通过复数的共轭复数判断①的正误；
求出将5封信投入3个邮筒中，不同的投法有3⁵种，判定②错误；
用导数来研究f（x）的单调性与极值，判定③正确；
通过二项式定理系数的和判断④的正误．

解答： 解：例如z₁=2+i，z₂=6-i，z₁+z₂为实数，但是z₁，z₂不是共轭复数，所以①不正确．
对于②，将5封信投入3个邮筒，每一封信有3种不同的投法，
共有3×3×3×3×3=3⁵种投递方法，∴②错误；
对于③，∵f（x）=e^-x•x²，∴f′（x）=-x²e^-x+2xe^-x=-x（x-2）e^-x；
∴当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴x=2时，f（x）取得极大值；∴③正确；
对于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

=2ⁿ≥2，都是偶数，即④正确．
其中真命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数的奇偶性的判定，排列与组合的知识，用导数研究函数的单调性与极值研究求函数在某一点处的切线方程问题，是综合题目．