Question

根据如图所示算法语句，将输出的A值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₁₄
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

22n-1

an•an+1

，若数列{b_n}的前n项和S_n，证明：对于任意的n∈N^*，S_n＜

1

3

（n∈N^*，n≤2014）

Answer 1

考点：数列的求和,程序框图

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=3（2^2n-3+2^2n-5+…+2）+1=2^2n-1-1，利用等比数列的求和公式可得a_n=2^2n-1-1，再验证a₁=1，满足上式即可；
（2）由（1）知a_n=2^2n-1-1，利用裂项法易知b_n=

22n-1

an•an+1

=

1

3

（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

），从而可知结论成立．

解答： （1）解：由已知，当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3（2^2n-3+2^2n-5+…+2）+1=2^2n-1-1，
而a₁=1，满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=2^2n-1-1；
（2）证明：由（1）知a_n=2^2n-1-1，
所以b_n=

22n-1

an•an+1

=

22n-1

(22n-1-1)(22n+1-1)

=

1

3

（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

），
∴S_n=

1

3

[（

1

2

-

1

7

）+（

1

7

-

1

31

）+…+（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

）]
=

1

3

（

1

2

-

1

22n+1-1

）＜

1

6

＜

1

3

．
故对于任意的n∈N^*，S_n＜

1

3

（n∈N^*，n≤2014）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，考查列项相消法求和，考查程序框图的理解与应用，属于中档题．