Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面BEF的法向量为

m

和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（5分）
（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3，可知DE=3

6

，AF=

6

．
则A（3，0，0），F（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

）．
设平面BEF的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • BF =0 m • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

．
令z=

6

，则

m

=（4，2，

6

）．
因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0）．
所以cos＜

m

，

CA

＞=

m • CA

| m || CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为

13

13

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．