Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和（n=1，2，3，…），按如下方式定义数列{a_n}：a₁=m（m∈N^*），对任意k∈N^*，k＞1，设a_k为满足0≤a_k≤k-1的整数，且k整除S_k．
（1）当m=9时，试给出{a_n}的前6项；
（2）证明：?k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

+1；
（3）证明：对任意的m，数列{a_n}必从某项起成为常数列．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用定义，可写出{a_n}的前6项；
（2）利用放缩法证明k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

+1；
（3）确定数列{

Sk

k

}必将从某项起变为常数，再证明：对任意的m，数列{a_n}必从某项起成为常数列．

解答： （1）解：m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六项为9，1，2，0，3，3．
（2）证明：?k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk+1

k

=

Sk+ak+1

k

≤

Sk+k

k

=

Sk

k

+1；
（3）证明：∵?k∈N^*，有

Sk

k

∈N^*，
由（2）可得

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

，
∵

S1

1

=m为定值且

Sk

k

单调不增，
∴数列{

Sk

k

}必将从某项起变为常数，
不妨设从l项起

Sk

k

为常数，则

Sl+1

l+1

=

Sl

l

，
于是a_l+1=S_l+1-S_l=

Sl

l

，
∴a_l+2=a_l+1=

Sl

l

，
∴数列{a_n}当n≥l+1时成为常数列．

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．