Question

已知函数f（x）=ax²-x+lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，求a的值及在该点处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求a的值及在该点处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数是单调函数，则导数的符号相同，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax-1+

1

x

．…（2分）
由题设，f′（1）=2a=2，a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=2（x-1），
即2x-y-2=0．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=

2ax2-x+1

x

．
当a≥

1

8

时，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）单调递增．…（9分）
当0＜a＜

1

8

时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根
x₁=

1- 1-8a

4a

，x₂=

1+ 1-8a

4a

．
当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（x₁，x₂）时，f（x）＜0，
这时f （x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[

1

8

，+∞）．…（12分）

点评：本题主要考查主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义，以及函数单调性和导数之间的关系．