Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，在椭圆上(异于椭圆的左、右顶点)，过右焦点作∠的外角平分线的垂线，交于点，且(为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线：()与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于，求当三角形的面积最大时，直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由题意可得，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质，以及椭圆的定义、三角形的中位线定理可，，进而得到椭圆方程；

（2）联立直线l和椭圆方程，运用韦达定理和直线方程，令y=0，化简可得定值，再由，结合韦达定理和换元法、基本不等式可得最大值和直线l的方程．

(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为，得．

延长交直线于点，因为为∠的外角平分线的垂线，所以，为的中点，

所以，

所以，，

所以椭圆的方程为．

(2)将直线和椭圆的方程联立得，消去，

得，

所以，即．

设，，则，由根与系数的关系，

得，，

直线的斜率，

所以直线的方程为，

令得，

故，所以点到直线的距离，

所以．

令()，则，

当且仅当，即，即，时，三角形的面积最大，

所以直线的方程为或．