【题目】已知椭圆C: =1的离心率为 ,焦距为2,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在x轴上是否存在定点M,使得 为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由题意可得2c=2,e= = ,
可得c=1,a= ,b= =1,
即有椭圆的方程为 +y2=1
(2)解:在x轴上假设存在定点M(m,0),使得 为定值.
若直线的斜率存在,设AB的斜率为k,F(1,0),
由y=k(x﹣1)代入椭圆方程x2+2y2=2,
可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
x1+x2= ,x1x2= ,
y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2+1﹣(x1+x2)]
=k2( +1﹣ )=﹣ ,
则 =(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2+m2﹣m(x1+x2)+y1y2
= +m2﹣m ﹣ = ,
欲使得 为定值,则2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),
解得m= ,
此时 = ﹣2=﹣ ;
当AB斜率不存在时,令x=1,代入椭圆方程,可得y=± ,
由M( ,0),可得 ﹣ ,符合题意.
故在x轴上存在定点M( ,0),使得 为定值﹣
【解析】(1)由题意可得c=1,运用离心率公式可得a= ,由a,b,c的关系可得b=1,进而得到椭圆方程;(2)在x轴上假设存在定点M(m,0),使得 为定值.若直线的斜率存在,设AB的斜率为k,F(1,0),由y=k(x﹣1)代入椭圆方程,运用韦达定理和向量数量积的坐标表示,结合恒成立思想,即可得到定点和定值;检验直线AB的斜率不存在时,也成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数;命题q:当x∈[ ,2]时,函数f(x)=x+ > 恒成立,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求c的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动(向右为顺时针,向左为逆时针).设顶点 的轨迹方程是,则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆M过定点P(1,0),且与直线x=﹣1相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两点,且 =0,求证:直线AB过定点.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个黒球与都是黒球
B.至少有一个黑球与都是红球
C.至少有一个黒球与至少有个红球
D.恰有个黒球与恰有个黒球
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)= 是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,且f(2)= ,
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2017省息一中第七次适应性考】已知函数(),且的导数为.
(Ⅰ)若是定义域内的增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若方程有3个不同的实数根,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+;
(Ⅲ)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
(参考数据:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com