Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，且．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使‖平面；若存在，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【解析】试题分析：本题以直三棱柱为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、面面平行、线面平行、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，要证平面⊥平面，需要证平面；第二问，作出辅助线，通过3边都平行，利用面面平行的判定得到面EFD//平面，再利用面面平行的性质得DE//平面，由于平面，所以是三棱锥的高，所以将转化为，再求解.

试题解析：（1）∵直三棱柱侧面为矩形，且，

∴四边形为正方形，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面

∵平面

∴平面⊥平面； .5分

（2）分别取，的中点，，连接，，

平面∥平面，‖平面， .8分

平面， .10分

.12分