Question

【题目】对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的生成函数．

(1) 下面给出两组函数， 是否分别为、的生成函数？并说明理由；

第一组： ， ，

第二组： ， ， ；

(2) 设， ， ，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；

(3) 设， ，取，生成函数图像的最低点坐标为．若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) (3) 为289

【解析】试题分析：（1）由条件利用生成函数的定义，判断生成函数是否分别为是、的生成函数，从而得出结论；（2）有解等价于在上有解，只需小于函数在的最大值即可；（3）先求出函数的最小值为289，只需 即可.

试题解析：(1)第一组： 是、的生成函数，因为存在使

第二组： 不是、的生成函数，因为若存在使得，则有

故，而此方程无解，所以不是、的生成函数 .

(2) 依题意，有在上有解

化简得： 即在上有解

函数在的最大值为

故实数的取值范围为

(3) 存在最大的常数为289

依题意， ，由当且仅当即时等号成立得：

，解得： ，故

正数，满足/span>，故当且仅当时等号成立

函数的最小值为289，故最大的常数为289．

【方法点晴】本题主要考查对数的运算、二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.