Question

【题目】已知动圆M过定点P（1，0），且与直线x=﹣1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两点，且 =0，求证：直线AB过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），

M到直线x=﹣1的距离为|x+1|，又|PM|= ，

∴|x+1|= ，两边平方得x2+2x+1=x2﹣2x+1+y2，

∴y2=4x．

∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x

（2）解：设直线AB为：x=ty+m，

联立方程组 ，消元得y2﹣4ty﹣4m=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4t，y1y2=﹣4m．

∴x1x2=（ty1+m）（ty2+m）=t2y1y2+mt（y1+y2）+m2，

∴ =x1x2+y1y2=﹣4mt2+4mt2+m2﹣4m=m2﹣4m=0，

解得m=4或m=0（舍）．

∴直线AB恒过定点（4，0）

【解析】（1）设M（x，y）求出PM和M到切线x=﹣1的距离，列出方程整理化简即可得出轨迹方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+m，联立方程组消元，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用根与系数的关系计算x1x2 ， y1y2 ， 令x1x2+y1y2=0即可得出m，得出AB的定点坐标．