Question

19．已知函数f（x）=-x³+2ax²-x-3在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

Answer 1

分析 先求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．

解答 解：f（x）=-x³+2ax²-x-3的导数为f′（x）=-3x²+4ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+4ax-1≤0恒成立，
∴△=16a²-12≤0，解得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴实数a的取值范围是得[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．