Question

8．我们把一系列向量$\overrightarrow{a_i}$（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$，已知向量列$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$满足：$\overrightarrow{a_1}$=（1，1），$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）证明：数列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比数列；
（2）设θ_n表示向量$\overrightarrow{a_n}$与$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$间的夹角，若b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$，对于任意正整数n，不等式$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$＞a（a+2）恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量模的坐标公式求出|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|的模，得到|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|与|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|的关系，利用等比数列的定义能证明数列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比数列．
（2）利用向量的坐标形式的数量积公式求出$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$，$\overrightarrow{{a}_{n}}$的数量积，利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出夹角的余弦，从而得到b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵向量列$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$满足：$\overrightarrow{a_1}$=（1，1），
$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1），
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{n-1}-{y}_{n-1}）^{2}-（{x}_{n-1}+{y}_{n-1}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|，
∴数列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比数列．
解：（2）∵θ_n表示向量$\overrightarrow{a_n}$与$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$间的夹角，
∴cosQ_n=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n-1}}•\overrightarrow{{a}_{n}}}{|\overrightarrow{{a}_{n-1}}|•|\overrightarrow{{a}_{n}}|}$=$\frac{（{x}_{n-1}，{y}_{n-1}）•\frac{1}{2}（{x}_{n-1}-{y}_{n-1}，{x}_{n-1}+{y}_{n-1}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Q_n=$\frac{π}{4}$，b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$=$\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+…+\frac{2}{2n}$，
记f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，
则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
∴f（n）随n单调增加，
∴f（n）＞m对于一切大于1的自然数n都成立等价于m＜f（2）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
∵对于任意正整数n，不等式$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$=$\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+…+\frac{2}{2n}$＞a（a+2）恒成立，
∴a（a+2）＜2f（2）=$\frac{7}{6}$，
解得-1-$\frac{\sqrt{78}}{6}$＜a＜-1+$\frac{\sqrt{78}}{6}$，
∴实数a的范围是（-1-$\frac{\sqrt{78}}{6}$，-1+$\frac{\sqrt{78}}{6}$）．

点评 解决向量的夹角问题一般利用向量的数量积公式求出夹角余弦，再利用夹角范围求出夹角；求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，据通项的特点选择求和方法．