Question

16．定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在区间（0，+∞）上为递增函数．
（1）求f（1）、f（-1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）解不等式：f（2）+f（x-1）≤0．

Answer 1

分析 （1）利用抽象函数，通过赋值法，即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）令y=-1，利用已知条件，即可通过偶函数的定义证明f（x）是偶函数；
（3）利用已知条件画出函数的图象大致形式；利用函数的单调性解不等式：f（2）+f（x-1）≤0即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0．…（2分）
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），
解得f（-1）=0．…（4分）
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），…（6分）
故f（-x）=f（x）．…（7分）
所以f（x）是偶函数．…（8分）
（3）根据题意可知，函数y=f（x）的图象大致如右图：

∵f（2）+f（x-1）=f（2x-2）≤0，…（9分）
∴-1≤2x-2＜0，或0＜2x-2≤1，…（10分）
解得$\frac{1}{2}≤x＜1，或1＜x≤\frac{3}{2}$．…（11分）
所以原不等式的解集为：$\left\{{x|\frac{1}{2}≤x＜1，或1＜x≤\frac{3}{2}}\right\}$．…（12分）

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的图形的应用，不等式的解法，考查计算能力．