Question

1．已知抛物线M：y²=12x的焦点F到双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，点P是抛物线M上的一动点，且P到双曲线C的焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-3的距离之和的最小值为5，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{10}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得当P，F，F₁共线时，和|PF₁|+|PF|取得最小值，且为|FF₁|=5，即有c²=16，再由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式可得a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{6}$，进而得到双曲线的方程．

解答 解：抛物线y²=12x的焦点为F（3，0），准线方程为x=-3，
则P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离
与到直线x=-3的距离之和，即为|PF₁|+|PF|，
当P，F，F₁共线时，和取得最小值，且为|FF₁|=5，
即有c²+9=25，即有c²=16，
又F（3，0）到直线ax+by=0的距离为$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
即$\frac{3a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3a}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，即a=$\sqrt{10}$，则b=$\sqrt{6}$，
则该双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{10}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．