Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，且侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥BC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，AB₁=BB₁，且该三棱柱的体积为2$\sqrt{6}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （I）取BC中点M，连结AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等边三角形的性质得出BC⊥B₁M，故BC⊥平面AB₁M，故而AB₁⊥BC；
（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B₁M，从而B₁M⊥平面ABC，故而B₁M为棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解出AB．

解答 解：（I）取BC中点M，连结AM，B₁M，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∵侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°，
∴B₁M⊥BC，
又AM?平面AB₁M，B₁M?平面AB₁M，AM∩B₁M=M，
∴BC⊥平面AB₁M，∵AB₁?平面AB₁M，
∴BC⊥AB₁．
（II）设AB=x，则AC=x，BC=$\sqrt{2}$x，
∵M是BC的中点，∴AM=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，BB₁=$\sqrt{2}x$，B₁M=$\frac{\sqrt{6}x}{2}$，
又∵AB₁=BB₁，∴AB₁=$\sqrt{2}x$，
∴AB₁²=B₁M²+AM²，∴B₁M⊥AM．
由（I）知B₁M⊥BC，AM?平面ABC，BC?平面ABC，AM∩BC=M，
∴B₁M⊥平面ABC，
∴V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}×\frac{\sqrt{6}x}{2}$=$\frac{\sqrt{6}{x}^{3}}{4}=2\sqrt{6}$，
∴x=2，即AB=2．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，几何体体积计算，属于中档题．