Question

8．已知双曲线的一条渐近线方程是y=$\sqrt{3}$x，它的一个焦点在抛物线y²=8x的准线上，则该双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，可得c=2，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求出渐近线方程，由题意可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：抛物线y²=8x的准线为x=-2，
由题意可得c=2，
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得a²+b²=4，b=$\sqrt{3}$a，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
即有双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的准线方程和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．