Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n，（n∈N₊）
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：数列{a_n+3}成等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（4）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式，代值计算即可，
（2）根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1+3=2（a_n+3），判断出数列{a_n+3}是等比数列，
（3）利用等比数列的通项公式求得a_n+3进而求得a_n．
（4）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，根据等差中项的性质可知2a_p=a_s+a_r，利用（1）中的a_n展开得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，进而根据2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，判断出假设不成立．故可知不存在这样的三项．

解答 解：（1）因为S_n=2a_n-3n，
当n=1时，S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
当n=2时，S₂=2a₂-3，解得a₂=6，
（2）因为S_n=2a_n-3n，
所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3）
数列{a_n+3}是等比数列，
（3）由（2）知，数列{a_n+3}是等比数列，
因为a₁+3=6，
所以a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（4）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，
则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．

点评 题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．