Question

12．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为$2\sqrt{3}$的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求三棱锥A-CDM的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合面与面垂直的性质可得CD⊥平面APO，再由线面垂直的定义得到PA⊥CD；
（2）由题意求得P到底面的距离，然后把三棱锥A-CDM的体积转化为三棱锥M-ACD的体积求解．

解答 （1）证明：取DC的中点O，连接OP，OA，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC
在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，$AD=2\sqrt{3}$，$OD=\sqrt{3}$，有AO⊥CD．
又PO⊥CD，OA∩OP=O，
则CD⊥平面APO，PA?平面APC，
即CD⊥PA；
（2）解：∵PO⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PDC是正三角形，且PD=$2\sqrt{3}$，∴PO=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=3$．
∵M是PB的中点，∴M到底面ABCD的距离$h=\frac{1}{2}PO=\frac{3}{2}$，
${V_{A-CDM}}={V_{M-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{2\sqrt{3}}）^2}×\frac{3}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查了多面体体积的求法，训练了等积法，是中档题．