Question

2．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等
（1）求证：直线AC垂直于直线SD．
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；
（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．

解答 解：（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵SO∩BD=O，SO?平面SBD，BD?平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，∵SD?平面SBD，
∴AC⊥SD
（2）由题意得正四棱锥边长为3米．
∴BO=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
棱锥的高SO=$\sqrt{S{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{9-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴$V=\frac{1}{3}•{3^2}•\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$立方米．
答：需要$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$立方米填充材料．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．