Question

7．己知函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x₀，满足f（x₀）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，讨论x＞0，x＜0，结合指数函数的单调性，可得导数的符号，进而得到单调区间；
（2）①讨论x=1，x＞1．x＜1，运用参数分离，记g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，求出导数，求出单调区间，可得最值，可得a的范围；
②由①可得0＜a＜1时，以及当a＞4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，运用g（x）的单调性，可得不等式组，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x（2x-1）-x+1，导数f′（x）=e^x（2x+1）-1，
当x＞0时，e^x＞1，2x+1＞1，可得f′（x）＞0；
当x＜0时，0＜e^x＜1，2x+1＜1，可得f′（x）＜0．
即有f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；
（2）①由f（x）＜0可得e^x（2x-1）＜a（x-1），当x=1时，不等式显然不成立；
当x＞1时，a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$；当x＜1时，a＜$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$；
记g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2{x}^{2}-3x）}{（x-1）^{2}}$，
可得g（x）在（-∞，0），（$\frac{3}{2}$，+∞）上递增；在（0，1），（1，$\frac{3}{2}$）递减；
可得当a＞1时，a＞g（$\frac{3}{2}$）=4e${\;}^{\frac{3}{2}}$；当x＜1时，a＜g（0）=1，
综上可得，a的取值范围是（-∞，1）∪（4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）；
②由①可得0＜a＜1时，x₀∈（-∞，1），由f（x₀）＜0，
代入不等式可得得a＞$\frac{{e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$=g（x₀），
得g（x₀）＜a，
又g（x）在（-∞，0）递增，在（0，1）递减，且g（0）=1＞a，
则g（-1）≤a，即a≥$\frac{3}{2e}$，故$\frac{3}{2e}$≤a＜1，检验不成立；
当a＞4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，x₀∈（1，+∞），
由f（x₀）＜0，得g（x₀）＜a．
又g（x）在（1，$\frac{3}{2}$）递减，（$\frac{3}{2}$，+∞）上递增，
且g（$\frac{3}{2}$）=4e${\;}^{\frac{3}{2}}$＜a，
在区间[$\frac{3}{2}$，2]上，存在x₀=2这个唯一的整数，
使g（2）＞g（$\frac{3}{2}$），f（2）＜0，
所以a∈[4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，3e²]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查不等式的存在性问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．