Question

19．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H分别是BC，PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；
（Ⅲ）若AB=1，且AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求多面体AEFH的体积．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由△ABC是等边三角形，AD∥BC得AE⊥AD，故AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（II）由中位线定理得FH∥BC∥AB，故FH∥平面PAB，由线面平行的性质可得FH∥l；
（III）连结AC，则PA⊥AC，根据直角三角形的性质求出PC，PA，取AD中点G，则HG=$\frac{1}{2}PA$，FH=$\frac{1}{2}CD$，由HG⊥平面ABCD可得HG⊥CD，从而HG⊥FH，过A作AM⊥EG，则AM⊥平面EFHG，
AM为等边三角形ACD的高的一半，代入体积公式即可求出棱锥的体积．

解答 证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即AE⊥AD
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）∵F，H是PC，PD的中点，
∴FH∥CD，
又∵AB∥CD，
∴FH∥AB，∵FH?平面PAB，AB∥平面PAB，
∴FH∥平面PAB，
又FH?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=l，
∴FH∥l．
（3）∵AB=1，∴AC=AD=BC=CD=1，∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵F是PC的中点，∴PC=2AF=$\sqrt{2}$，∴PA=$\sqrt{P{C}^{2}-A{C}^{2}}=1$．
取AD中点G，连结HG，EG，
则FH∥EG，FH=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$，HG∥PA，HG=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，
∴HG⊥平面ABCD，∴HG⊥EG，∴HG⊥FH，
∴S_△EFH=$\frac{1}{2}FH•HG$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
过点A作AM⊥EG，垂足为M，则AM=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又AM⊥HG，∴AM⊥平面EFHG，
∴V_A-EFH=$\frac{1}{3}{S}_{△EFH}•AM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{96}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．