Question

11．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，离心率为e，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得-$\frac{b}{a}$=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{3}$a，c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2，
则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+4}{\sqrt{3}a}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+$\frac{4}{a}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当a=2时，取得最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．