Question

6．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{37}$+4
• B． $\sqrt{37}$-4
• C． $\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{37}$+2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|-2$\sqrt{5}$，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A在双曲线的左支上，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=3，
设双曲线的左焦点为F'，
即有F（3，0），F'（-3，0），
由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a=2$\sqrt{5}$，
即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|-2$\sqrt{5}$，
当A在左支上运动到P，A，F'共线时，
|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|=$\sqrt{（3+3）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
则有|AP|+|AF|的最小值为$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线上一点到一定点和焦点的距离和的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，考查运算能力，属于中档题．