Question

1．数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}}\\{\frac{1}{{b}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}•\frac{1}{{b}_{n}}}\end{array}\right.$，a₁＞0，b₁＞0；
（1）求证：{a_n•b_n}是常数列；
（2）若{a_n}是递减数列，求a₁与b₁的关系；
（3）设a₁=4，b₁=1，当n≥2时，求a_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a_n•b_n=a_n-1•b_n-1=…=a₁•b₁，故问题得以证明；
（2）根据{a_n}是递减数列，得到（a₁-b₁）²＞0，a_n＞b_n，得到a₁＞b₁恒成立，
（3）先判断a_n+1＞2，再根据a_n+1-a_n=$\frac{4-{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}}$，得到a_n+1-a_n＜0，{a_n}是递减数列，即可得到a_n-a₂＜0，求出a_n的取值范围．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}}\\{\frac{1}{{b}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}•\frac{1}{{b}_{n}}}\end{array}\right.$，
∴2a_n+1=a_n+b_n，$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2{a}_{n}{b}_{{n}_{\;}}}$，
∴b_n+1=$\frac{2{a}_{n}{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，
∴a_n+1b_n+1=a_n•b_n，
∴a_n•b_n=a_n-1•b_n-1=…=a₁•b₁，
∴{a_n•b_n}是常数列；
（2）{a_n}是递减数列，a_n+1-a_n＜0，
∵a₂-a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+b₁）-a₁=$\frac{1}{2}$（b₁-a₁）＜0
∴a₁＞b₁，
∵a₃-a₂=$\frac{1}{2}$（b₂-a₂）＜0，
∴a₂＞b₂，
∵$\frac{1}{2}$（a₁+b₁）＞$\frac{2{a}_{1}{b}_{1}}{{a}_{1}+{b}_{1}}$，
∴（a₁-b₁）²＞0，
猜想a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$（b_n-a_n）＜0，
∴a_n＞b_n，
∴a₁＞b₁恒成立，
∵a_k+2-a_k+1=$\frac{1}{2}$（b_k+1-a_k+1）=$\frac{\frac{2{a}_{k}{b}_{k}}{{a}_{k}+{b}_{k}}-\frac{{a}_{k}+{b}_{k}}{2}}{2}$=$\frac{-（{a}_{k}-{b}_{k}）^{2}}{4（{a}_{k}+{b}_{k}）}$＜0，
∴a₁＞b₁时，{a_n}是递减数列．
（3）整理得a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a₁=4，
∴a₂=$\frac{5}{2}$，
∴a₁＞0⇒a₂＞0⇒a₃＞0⇒…⇒a_n＞0，
当n≥2时，a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）-2=$\frac{（{{a}_{n}}^{2}-2）^{2}}{2{a}_{n}}$＞0，
∴a_n+1＞2，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$（b_n-a_n）=$\frac{\frac{4}{{a}_{n}}-{a}_{n}}{2}$=$\frac{4-{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}}$，
∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴{a_n}是递减数列，
∴a_n-a₂＜0，
∴a_n∈（2，$\frac{5}{2}$]

点评 本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a_n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．