Question

11．随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如表所示：

年份（x）	2012	2013	2014	2015	2016
家庭数（y）	6	10	16	22	26

（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；
（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数．
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；
（Ⅱ）由已知数据求出回归直线方程的系数，写出对应方程，判断是正相关关系；
利用回归方程计算x=2019时y的值即可．

解答 解：（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：
（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），
（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种，
至少有1年多于20个的事件有：
（2012，2015），（2012，2016），（2013，2015），（2013，2016），
（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共7种，
则至少有1年多于20个的概率为P=$\frac{7}{10}$；
（Ⅱ）由已知数据得$\overline{x}$=2014，$\overline{y}$=16，
$\sum_{i=5}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-2×（-10）+（-1）×（-6）+0×0+1×6+2×10=52，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-1）²+（-2）²+0²+1²+2²=10，
∴$\widehat{b}$=$\frac{52}{10}$=5.2，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=16-5.2×2014=-10456.8，
∴回归直线的方程为y=5.2x-10456.8，
∴y与x是正相关关系；
当x=2019时，y=5.2×2019-10456.8=42，
∴该村2019年在春节期间外出旅游的家庭数约为42．

点评 本题考查了古典概型的概率计算，线性回归方程的解法及数值估计，属于中档题．