Question

7．如图，已知三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，点D是AB的中点，平面A₁DC分此棱柱成两部分，多面体A₁ADC与多面体A₁B₁C₁DBC体积的比值为1：5．

Answer 1

分析 设出棱柱的底面积和高，由D为AB的中点求出三角形ADC的面积，由棱锥体积公式求得多面体A₁ADC的体积，作差得到多面体A₁B₁C₁DBC体积，作比得答案．

解答 解：如图，设三棱柱ABC-A₁B_lC₁的底面ABC的面积为S，高为h，
则三棱柱的体积V=Sh，
∵D为AB的中点，∴${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}S$，
三棱锥A₁-ADC的高为h，
∴${V}_{{A}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}Sh=\frac{1}{6}Sh$，
则多面体A₁B₁C₁DBC的体积${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}DBC}=Sh-\frac{1}{6}Sh=\frac{5}{6}Sh$，
则多面体A₁ADC与多面体A₁B₁C₁DBC体积的比值为$\frac{\frac{1}{6}Sh}{\frac{5}{6}Sh}=\frac{1}{5}$．
故答案为：1：5．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数学转化思想方法，是中档题．