Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，则a_n=n²．

Answer 1

分析 化简可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，从而证明{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求得．

解答 解：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）1=n，
故a_n=n²，
故答案为：n²．

点评 本题考查了等差数列的判断与应用，同时考查了构造法的应用，属于中档题．