Question

4．如图，在棱长为a（a＞0）的正四面体ABCD中，点B₁，C₁，D₁分别在棱AB，AC，AD上，且平面B₁C₁D₁∥平面BCD，A₁为△BCD内一点，记三棱锥A₁-B₁C₁D₁的体积V，设$\frac{A{D}_{1}}{AD}$=x，对于函数V=f（x），则（　　）

• A． 当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）取到最大值
• B． 函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上是减函数
• C． 函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称
• D． 存在x₀，使得f（x₀）$＞\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}$（其中V_A-BCD为四面体ABCD的体积）

Answer 1

分析 由题意求出平面B₁C₁D₁的面积，求出平面B₁C₁D₁与平面BCD的距离，代入三棱锥体积公式求得函数V=f（x），然后利用导数求其单调区间和最值，逐一核对四个选项得答案．

解答 解：如图，∵四面体ABCD是棱长为a的正四面体，
∴顶点A在底面的射影为底面正三角形的中心，设为O，
则BO为正三角形BCD底边CD中线的$\frac{2}{3}$，即BO=$\frac{2}{3}×\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴正四面体的高为h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∵平面B₁C₁D₁∥平面BCD，∴△B₁C₁D₁∽△BCD，
又$\frac{A{D}_{1}}{AD}$=x，∴$\frac{{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}{{S}_{△BCD}}={x}^{2}$，
又${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}{x}^{2}$，
设A到平面B₁C₁D₁的距离为h′，由$\frac{h′}{h}=x$，得$h′=\frac{\sqrt{6}}{3}ax$，
∴平面B₁C₁D₁与平面BCD间的距离，即A₁到平面B₁C₁D₁的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}a（1-x）$．
则V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}{x}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a（1-x）$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{2}（{x}^{2}-{x}^{3}）$（0＜x＜1），
V′=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{2}（2x-3{x}^{2}）$，由V′=0，得x=$\frac{2}{3}$，
当x∈（0，$\frac{2}{3}$）时，V′＞0，当x∈（$\frac{2}{3}，1$）时，V′＜0，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，V有最大值等于$\frac{\sqrt{2}}{81}{a}^{2}$．．
故A正确，B，C错误，
又$\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
∴不存在x₀，使得f（x₀）$＞\frac{1}{3}{V}_{A-BCD}$，D错误．
故选：A．

点评 本题考查棱锥体积的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．