Question

5．已知球O的一个内接三棱锥P-ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$
• C． $\frac{4}{3}\sqrt{6}$
• D． $\frac{2}{3}\sqrt{6}$

Answer 1

分析 取△ABC的中心E，则OE⊥平面ABC，所以P到平面ABC的距离h=2OE，利用正三角形的性质和勾股定理求出OE，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：设△ABC的中心为E，AB中点为D，连结OE，则OE⊥平面ABC，
∴OE⊥CE．
∵O是PC的中点，∴P到平面ABC的距离h=2OE．
由正三角形的性质可得CD=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{2}{3}CD$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴h=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．