Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n，在等比数列{b_n}中，b₁+b₃=5．b₄+b₆=40．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n，当n=1时，a₁=3；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．设等比数列{b_n}的公比为q，利用b₄+b₆=q³（b₁+b₃）=40．解得q，即可得出b₁．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，可得：n为奇数时，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$．当n为偶数时，c_n=b_n=2^n-1．分别利用“裂项求和”方法、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n，
当n=1时，a₁=3；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，n=1时也成立．
∴a_n=2n+1．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₁+b₃=5．b₄+b₆=40．
∴b₄+b₆=q³（b₁+b₃）=40．解得q=2，
∴b₁（1+2²）=5，解得b₁=1．
∴b_n=2^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，∴n为奇数时，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$．
当n为偶数时，c_n=b_n=2^n-1．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$+（2+2³+…+2^2n-1）
=1-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$
=$\frac{2n}{2n+1}$+$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．