Question

已知函数f（x）满足f（1）=2，对任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，记

n π

i=1

a_i=a₁•a₂…a_n，则

10 π

i=1

f（6-i）的值为

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x-y）=

f(x)

f(y)

，可知f（x-y）f（y）=f（x），利用f（x-y）f（y）=f（x），可把

10 π

i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）转化为求f⁵（1），即可求得答案．

解答： 解：∵记

n π

i=1

a_i=a₁•a₂…a_n，
∴

10 π

i=1

f（6-i）=f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4），
∵对任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∴f（x-y）f（y）=f（x），
∴f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），
∴则

10 π

i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）=f⁵（1），
∵f（1）=2，
∴f⁵（1）=2⁵=32，
∴

10 π

i=1

f（6-i）=32．
故答案为：32．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，利用题中所给信息把问题转化成熟悉的问题，本题的解法可以类比数列求和中的“倒序相加法”，关键点是抓住f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1）．属于中档题．