Question

11．若f（x）=x²，?t∈R，对于?x∈[2，m]，都有f（x+t）≤2x成立，则m的最大值是8．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x+t）-2x=x²+2（t-1）x+t²，由已知可得?x∈[2，m]，g（x）≤0恒成立，即g（2）≤0且g（m）≤0，先求出t的范围，进而可得m的取值范围．

解答 解：设g（x）=f（x+t）-2x=x²+2（t-1）x+t²，
由题值?x∈[2，m]，f（x+t）≤2x恒成立，
即?x∈[2，m]，g（x）≤0恒成立，
即g（2）≤0且g（m）≤0，
即t²+4t≤0，m²+2（t-1）m+t²≤0，
则t∈[-4，0]，
当t=0时，得到m²-2m≤0，解得0≤m≤2；
当t=-4时，得到m²-5m+4≤0，解得2≤m≤8
综上得到：m∈[2，8]，
∴m的最大值是8，
故答案为：8．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，熟练掌握函数的图象和性质，会进行函数恒成立与不等式之间的转化是解答的关键，属于中档题．