Question

（2007•上海模拟）若函数f（x）满足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，则f（a）＜f（b），试写出该函数具有的两个性质：

①f（0）=1；②f（x）在R上是增函数

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Answer 1

分析：由已知中函数f（x）满足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，则f（a）＜f（b），我们根据基本初等基本函数的图象和性质，可得底数大于1的指数函数满足已知中的三个条件，故可以类比函数y=2^x的性质，说出函数的两个性质．

解答：解：∵任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）
令a=0，则f（b）=f（0）•f（b）
即f（0）=1
又由若任意a，b∈R，且a＜b，则f（a）＜f（b），
根据函数单调性的定义，可得f（x）在R上是增函数
故答案为：①f（0）=1；②f（x）在R上是增函数

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数模型的选择和应用，其中根据已知条件，结合基本初等基本函数的图象和性质，得到底数大于1的指数函数满足已知的三个条件是解答本题的关键．