Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，P是抛物线上异于原点的任意一点，直线PF与抛物线另一交点为点Q，设l是过点P的抛物线的切线，l与直线y=-1和x轴的交点分别为A，B．
（1）求证：AF⊥PQ；
（2）过B作BC⊥PQ于C，若|PC|=|QF|，求|PQ|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P(m，

m2

4

)，过P的切线方程为：y=

m

2

x-

m2

4

，分别求出A和F的坐标，由此利用向量的计算公式能证明AF⊥PQ．
（2）分别过B、P作直线y=-1的垂线，垂足为D、E，由已知条件推导出|FC|=|BD|=1，设直线PQ的方程为y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0，由此能求出|PQ|的长．

解答： （1）证明：设P(m，

m2

4

)，
则过P的切线方程为：y=

m

2

x-

m2

4

，┅（2分）
由

y= m 2 x- m2 4 y=-1

，得A的坐标(

m

2

-

2

m

，-1)，
又∵抛物线C：x²=4y的焦点为F（0，1），
∴

FP

=(m，

m2

4

-1)，

FA

=(

m2-4

2m

，-2)，┅（4分）
∴

FP

•

FA

=m•

m2-4

2m

+(

m2

4

-1)•(-2)=0，┅（6分）
∴AF⊥PQ．┅（7分）
（2）解：分别过B、P作直线y=-1的垂线，垂足为D、E，
∵BC∥AF，∴

|FC|

|FP|

=

|AB|

|AP|

=

|BD|

|PE|

，
∵|FP|=|PE|，∴|FC|=|BD|=1，┅（9分）
设直线PQ的方程为y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0，
∴m•x_Q=-4，∴xQ=-

4

m

，∴yQ=

4

m2

，┅（11分）
∵|PF|=

m2

4

+1，|QF|=

4

m2

+1，∴|PC|=

m2

4

，
由|PC|=|QF|，得

4

m2

+1=

m2

4

，
∴m⁴-4m²-16=0，解得m2=2+2

5

，┅（14分）
∴|PQ|=

m2

4

+

4

m2

+2=

5

+2．┅（15分）

点评：本题考查直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．