Question

（12分）已知函数f(x)=ax³－bx² +(2－b)x+1，在x=x₂处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2。
（1）证明：a＞0；
（2）若z=a+2b，求z的取值范围。

Answer 1

（1）见解析（2）

求函数f′(x)的导数f′(x)=ax²－2bx+2－b

（1）由函数f(x)在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，知x₁，x₂是f’(x)=0的两个根。所以f’(x)=a(x－x₁)(x－x₂)
当x＜x₁时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x₁＜0，x－x₂＜0得a＞0
（2）在题设下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等价于即
化简得此不等式组表示的区域为平面aob上三条直线：2－b=0，a－3b+2=0，4a－5b+2=0，所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为：A.
在这三点的值依次为，所以z的取值范围为