Question

5．已知在x=θ时，f（x）=3sinx+4cosx取最大值，则$\frac{sin2θ+co{s}^{2}θ+1}{cos2θ}$=$\frac{15}{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，可得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，由此求得所给式子的值．

解答 解：∵在x=θ时，f（x）=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+α）取最大值为5，
其中，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
则f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，
则$\frac{sin2θ+co{s}^{2}θ+1}{cos2θ}$=$\frac{2sinθcosθ{+cos}^{2}θ-1}{{2cos}^{2}θ-1}$═$\frac{2•\frac{3}{5}•\frac{4}{5}+\frac{16}{25}-1}{2•\frac{16}{25}-1}$=$\frac{15}{7}$，
故答案为：$\frac{15}{7}$．

点评 本题主要考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，属于基础题．