Question

14．过点M（1，1）作斜率为$-\frac{1}{2}$的直线与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，B，则直线AB的方程x+2y-3=0；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由直线的点斜式方程：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：x+2y-3=0，由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$②，利用中点坐标公式及作差法，即可求得a与b的关系，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=b，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：由题意可知：直线的点斜式方程：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
整理得：x+2y-3=0，
解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$②，
∵M是线段AB的中点，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∵①②两式相减可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
即$\frac{2}{{a}^{2}}$+（-$\frac{1}{2}$）$\frac{2}{{b}^{2}}$=0，整理得：a=$\sqrt{2}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
椭圆C的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：x+2y-3=0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点差法的应用，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．