Question

3．已知函数$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据切线方程得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式的导数，得到$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m，令g（x）=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{\frac{b}{x}（x+1）-（a+blnx）}{{（x+1）}^{2}}$，
而点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
又直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=1}\\{\frac{2b-a}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{2-lnx}{x+1}$（x＞0），由xf（x）＜m，得：$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m，
令g（x）=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$，g′（x）=$\frac{1-x-lnx}{{（x+1）}^{2}}$，
令h（x）=1-x-lnx，则h′（x）=-1-$\frac{1}{x}$＜0，（x＞0），
∴h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
故g（x）_max=g（1）=1，
要使$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m成立，只需m＞1，故m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．