Question

13．设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（-3，0），△ABF求的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$，代入x'²+y'²=25，整理得点M的轨迹C的方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求△ABF的面积．

解答 解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），
由$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$，
∵P在圆上，
∴x'²+y'²=25，即x²+（$\frac{5}{4}$y）²=25，整理得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
（2）直线$AB：y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入C的方程，整理得：x²-3x-8=0
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，
∴线段AB的长度为$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{41}{5}$，
点F到AB的距离为$d=\frac{24}{{\sqrt{41}}}$，故$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{12\sqrt{41}}}{5}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．